§8.2 消元——二元一次方程組的解法

教材分析

“8．2 消元——二元一次方程組的解法”的標題點出了這一節(jié)的核心。二元一次方程組含有兩個未知數(shù)，如果消去其中一個未知數(shù)，由兩個方程得出一個方程，就得到前面已學習過的一元一次方程。由它可以先解出一個未知數(shù)，然后再設(shè)法求另一個未知數(shù)。這是解二元一次方程組的基本思想。這一節(jié)首先從討論解方程組的需要出發(fā)，引導學生從解決問題的基本策略的角度認識消元思想。然后，結(jié)合實例依次討論了兩種通過消元解方程組的常用方法——代入法和加減法，并結(jié)合具體問題用框圖形式表示了這兩種解法的一般過程。同時通過解決實際問題讓學生感悟到一元二次方程組應用的廣泛與解法的重要，以及要根據(jù)方程組的特點選擇恰當?shù)慕夥ā?/p>

本節(jié)內(nèi)容是在學生會解一元一次的方程的基礎(chǔ)上學習二元一次方程組的解法，知道了為什么多元方程要消元化歸為一元方程，這樣，二元一次方程組的解法又為解三元一次方程組奠定了基礎(chǔ)，同時為利用方程組解決實際問題作好了準備。

本節(jié)的重點是掌握方程組的兩種解法，并能根據(jù)方程組的特點靈活選擇解方程組的方法，發(fā)展學生的觀察分析能力與計算技能技巧.所以在分別學習兩種方法后，應結(jié)合實例對兩種方法進行比較，明確兩種方法各自的特點，根據(jù)題目條件做出恰當?shù)倪x擇. 不論是代入消元還是加減消元，都必須讓學生認識到每一步做法的目的.

本節(jié)的難點是學生對消元化歸思想的理解.方程組中含有多個未知數(shù)，消元思想——解方程組時“化多為少，由繁至簡，各個擊破，逐一解決”的基本策略，是產(chǎn)生具體解法的重要基礎(chǔ)，而代入法和加減法則是落實消元思想的具體措施。在有關(guān)方程組解法的討論中，先使學生了解消元的基本思想，然后在其指導下尋求解決問題的具體方法，從而使具體解法的合理性凸現(xiàn)出來。

考慮到二元一次方程組解法和應用內(nèi)容較多，為便于學生掌握，第97頁例2與101頁例4安排到第三課時中學習。這樣先分別學習代入消元法與加減消元法，最后是應用：一方面是列方程組解應用題，另一方面實在應用的過程中訓練解方程組的技能技巧。

【課時分配】3課時

§8.2消元——二元一次方程組的解法 (第一課時)

【教學重點與難點】

教學重點：熟練地用代入法解二元一次方程組。

教學難點：探索如何用代入法將“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”的消元過程。

【教學目標】

1.會 用代入法解二元一次方程組；

2. 體會解二元一次方程組的 “消元思想”，“化未知數(shù)為已知”的化歸思想。

3. 通過對方程中未知數(shù)特點的觀察和分析，明確解二元一次方程組的主要思路是“消元”，從而促成未知向已知的轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)觀察能力和體會化歸的思想。

設(shè)計方案（一）

【教學方法】

通過一個實際問題，探究二元一次方程組的解法. 從解決問題需要出發(fā)的探究目的明確，學生的探索交流更為具體.在具體問題解決之后，教師引導學生進一步思考：為人么要消元?怎樣達到消元的目的?先讓學生嘗試去做，思考交流之后再嘗試著說，初步領(lǐng)會之后接著應用，經(jīng)過這樣的循環(huán)之后，教師最后引導學生歸納提煉就是水到渠成的事了.因此，設(shè)計適當?shù)膯栴}，留給學生足夠的時間，引導學生從大處著眼想，從小處入手做，達到思路清晰，計算準確的目的.整個課堂以學生的自主探究、合作交流活動為中心，教師主要起組織引導作用。

【教學過程】

一、創(chuàng)設(shè)情境 提出問題

（設(shè)計說明：利用這個問題，復習回顧二元一次方程組及其解的意義，同時開始探究二元一次方程組的解法.）

問題： 買2支鋼筆和3個筆記本共需16元，買2支鋼筆的錢恰好可以買5個筆記本。求鋼筆和筆記本的價格.

思考：若設(shè)鋼筆每只x元，筆記本每個y元，你能列出怎樣的方程組?能求出方程組的解嗎?

2x＋3y=16

2x=5y

（教學說明：對教師提出的問題，學生在上一節(jié)學習的基礎(chǔ)上，會很快列出方程組，至于如何求方程組的解，可能會出現(xiàn)分歧，有的同學會沿用上節(jié)課的方法嘗試觀察找出方程組的解，有的同學可能會發(fā)現(xiàn)另外的方法，由此展開討論，進入新課學習）

二、探索新知 解決問題

（設(shè)計說明：本環(huán)節(jié)設(shè)計的問題引導學生從探究方程組的解法開始，逐步得出用代入消元法解方程組的一般步驟，理解消元思想的意義，并在解決問題的過程中體會到了二元一次方程組的用途，提高了分析問題的能力及運算技能）

問題1 解方程組 2x＋3y=16 ①

2x=5y ②

（設(shè)計說明：由具體問題的解答引導學生開始探究二元一次方程組的解法，結(jié)合具體問題的解答，先從總體上把握解二元一次方程組的方向，然后研究具體的做法.）

（1） 由學生介紹自己求出方程組解的過程.（學生最容易想到的可能是整體代入，如果沒有別的方法，教師不必補充，只要讓生生體會到解二元一次方程組要想辦法轉(zhuǎn)化成一元一次方程即可）

（2）在學生講解的基礎(chǔ)上，教師簡要歸納：解二元一次方程組時，可以想辦法把其中的一個未知數(shù)消去，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化成一元一次方程，這樣我們就能順利解答了.這節(jié)課我們重點研究如何完成這一步轉(zhuǎn)化.

（教學說明：以學生獨立解答、討論交流為主，教師簡要點撥）

問題2 籃球聯(lián)賽中，每場比賽都要分勝負，每隊勝一場得2分，負1場得1分，某隊為了爭取較好的名次，想在全部20場比賽中得到38分，那么這個隊勝負場數(shù)分別是多少?

（設(shè)計說明：選擇學生較熟悉的問題情景，讓學生進一步體會二元一次方程組的應用，重點放在如何解方程組上，以便于歸納出解方程組的方法）

解：設(shè)勝的場數(shù)是x，負的場數(shù)是y

由方程x＋y＝20得y＝20－x，將2x＋y＝38的y換為20－x，這個方程就化為一元一次方程，解得 x=18

把x=18代入方程x＋y＝20，得 y=2

所以，方程組的解是 x=18

y=2

答：這個隊勝18場，負2場

（教學說明：本題要求學生先獨立解決.學生解答完畢之后，再讓他們充分交流、討論，弄清楚每一步是怎樣做的，為什么這樣做?）

問題3 消元思想與代入消元法的意義

（設(shè)計說明：結(jié)合實例進一步體會解二元一次方程組的基本思想----消元，并歸納代入消元的意義與步驟，將歸納得出的思想方法應用于新的問題解決過程，逐步形成清晰地思路、方法）

（1）結(jié)合學生解答過程，教師指出：將未知數(shù)的個數(shù)由多化少、逐一解決的想法是消元思想，而根據(jù)一個方程，將一個未知數(shù)用含另一未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一方程的方法是代入消元法。

（2）用代入消元法解二元一次方程組的一般步驟

①將其中一個方程中的某個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來.

②將這個代數(shù)式代入另一個方程中，從而消去一個未知數(shù)，化二元一次方程組為一元一次方程式.

③解這個一元一次方程.

④把求得的一次方程的解代入方程中，求得另一個未知數(shù)值，組成方程組的解.

（教學說明：在學生充分感悟之后，教師引導學生進一步提煉，歸納出消元思想的實質(zhì)，及代入消元法的具體步驟，體會思想與方法之間的關(guān)系

問題4. 用代入法解方程組

（設(shè)計說明：利用這個問題使學生進一步熟悉用代入法解方程組的步驟，規(guī)范書寫格式，訓練運算的速度與準確度.）

　x－y＝3 ① 2x＋3y=16 ①

（1） 3x－8y＝14 ② （2） x＋4y=13 ②

解：(1) 由①得 x=y＋3 ③

把③代入②，得 3(y＋3)-8y=14

解這個方程，得 y=-1

把y=-1代入③，得 x=2

所以這個方程組的解是 x=2

y=-1

(2) 由②，得 x=13-4y

將③代入①，得2(13-4)S＋3y=16

26-8y＋3y=16

-5y=-10

y=2

將代入③，得 x=5

所以原方程組的解是 x=5

y=2

（教學說明：獨立完成，兩生板演，結(jié)合板演訂正.）

三、鞏固訓練 熟練技能

（設(shè)計說明：通過形式不同的練習，訓練學生解方程組的技能）

1. 把方程化成含x的代數(shù)式表示x的形式y(tǒng)= 答案：y=2x-5

2. 方程組的解是

A.； B. C. D.

答案：D

3.（2007湖北宜賓）某班共有學生49人.一天，該班某男生因事請假，當天的男生人數(shù)恰為女生人數(shù)的一半.若設(shè)該班男生人數(shù)為x，女生人數(shù)為y，則下列方程組中，能正確計算出x、y的是（ ）

A． eq \b\lc\{(\a\al(x–y= 49,y=2(x＋1))) B． eq \b\lc\{(\a\al(x＋y= 49,y=2(x＋1))) C． eq \b\lc\{(\a\al(x–y= 49,y=2(x–1))) D． eq \b\lc\{(\a\al(x＋y= 49,y=2(x–1)))

答案：D

4. 教材98頁練習 1，2

（教學說明：學生獨立完成，教師巡視，重點關(guān)注有困難的學生，學生做完后簡要訂正）

四、反思總結(jié) 情意發(fā)展

（設(shè)計說明：圍繞三個問題，師生以談話交流的形式，共同總結(jié)本節(jié)課的學習收獲。）

問題1：本節(jié)課你學習了什么?

問題2：本節(jié)課你有哪些收獲?

問題3：通過今天的學習，你想進一步探究的問題是什么?

（教學說明：以上設(shè)計再次通過對三個問題的思考引導學生回顧自己的學習過程，暢所欲言，加強反思、提煉及知識的歸納，納入自己的知識結(jié)構(gòu)）

五、課堂小結(jié)

1．本節(jié)主要學習 用代入消元法解二元一次方程組

2．主要用到的思想方法是消元思想。

3．注意的問題:

（１）用代入法解二元一次方程組時，常選用系數(shù)較簡單的方程變形，這有利于正確、簡捷的消元.

（2）由一個方程變形得到的一個含有一個未知數(shù)的代數(shù)式必須代入另一個方程中去，否則會出現(xiàn)一個恒等式。

（3）方程組的解的表示方法，應用大括號把一對未知數(shù)的值連在一起，表示同時成立，不要寫成x=?y=?

六、布置作業(yè)

1、課本103頁1，2；課本99頁練習3，4，

（教學說明：及時作業(yè)是鞏固課堂學習知識的重要環(huán)節(jié)，練習題主要訓練用代入法解二元一次方程組）

七、拓展練習

（設(shè)計說明：將復習鞏固與靈活運用相結(jié)合，開拓學生視野，提高學生的學習興趣，同時第4題可以引導學生探究不同的解法，為下節(jié)課學習做準備）

1.（2007四川東山）某蔬菜公司收購到某種蔬菜140噸，準備加工上市銷售．該公司的加工能力是：每天可以精加工6噸或粗加工16噸．現(xiàn)計劃用15天完成加工任務，該公司應按排幾天精加工，幾天粗加工?設(shè)安排天精加工，天粗加工．為解決這個問題，所列方程組正確的是（ ）

Ａ． Ｂ．

Ｃ． Ｄ．

答案：D

2. 小明在解方程組時，遇到了“做不下去”的題目，你能根據(jù)他的解題過程，幫他找出原因嗎?

解方程組 104x-3y=7 ①

6x＋y=1 ②

解：由 = 2 \* GB3 ②得， = 3 \* GB3 ③ 將 = 3 \* GB3 ③代入 = 2 \* GB3 ②得（由于x消失，無法繼續(xù)）.

答案：由一個方程變形得到的一個含有一個未知數(shù)的代數(shù)式必須代入另一個方程中去，否則會出現(xiàn)一個恒等式，所以由②得到的③應該代入①中。

3.2008海南）根據(jù)北京奧運票務網(wǎng)站公布的女子

雙人3米跳板跳水決賽的門票價格（如表1），小明預

定了B等級、C等級門票共7張，他發(fā)現(xiàn)這7張門票的

費用恰好可以預訂3張A等級門票.問小明預定了B等

級、C等級門票各多少張?

解：設(shè)小明預訂了B等級，C等級門票分別為x張和y張.

依題意，得

解這個方程組得

答：小明預訂了B等級門票3張，C等級門票4張.

4. 解方程組

提示：本題既可以用一般代入發(fā)求解，也可以用整體代入發(fā)求解，還可以用加減法求解.

答案： x=5

y=3

【評價與反思】

1.應用意識關(guān)穿始終：從問題的提出，到最后的練習，多處環(huán)節(jié)以實際問題為背景：為解決問題的需要而學習，最后回歸到用新知識解決實際問題.既解決了為什么要學習二元一次方程組的解法的問題，同時，由于目標明確具體，學生探究時容易把握方向，在一定程度上分解了難點，提高了學生學習的興趣.

2.循序漸進原則的運用：學生對消元思想的理解很難一步到位，所以采用結(jié)合具體問題逐步滲透、感悟，然后提煉升華的方式學習.類似的，對二元一次方程組的解法，經(jīng)歷了從特殊到一般、從簡單到復雜的循環(huán)上升過程，學生對數(shù)學思想方法的理解隨之加深.

設(shè)計者：任秀英

設(shè)計方案二

【教學方法】

采取合作、探究的方法，引導學生積極參與學習活動。

【教學過程】

一．創(chuàng)設(shè)情景，導入新課

（設(shè)計說明：通過創(chuàng)設(shè)情景，讓學生深層次體會消元的思想，同時，為問題的引出，做好鋪墊）

問題1：什么叫做二元一次方程、二元一次方程組、二元一次方程組的解?

問題2：你見過商品交換嗎?

學生回答，教師引導，同時出示一下圖片，讓學生談是如何進行交換的?

由此導入新課，板書課題。

（教學說明：問題1可由學生直接回答，問題2要讓學生深層次體會消元的思想，要多留出時間，讓學生交流）

二．探索二元一次方程組的解法---代入消元法

（設(shè)計說明：在牛和羊的商品交換中，體會代入消元的思想）

問題1：你能說出牛和羊是怎樣交換的嗎?

學生：一頭牛換5只羊。

問題2：若一頭牛和1只羊的價格是2400元，你能求出一頭牛和1只羊的價格嗎?

學生首先列二元一次方程組，然后嘗試解決，讓一生板書。

解： x=5y ①

X＋y=2400 ②

將①代入②得：5y ＋y=2400

∴y=400

將y=400代入①得：x=2000

∴原二元一次方程組的解為：x=2000

y=400

答：一頭牛2000元，1只羊的400元。

師生訂正，并歸納：

上面的解法，是把二元一次方程組中一個方程的一個未知數(shù)永漢陵一個未知數(shù)的式子表示出來，在代入另一個方程，實現(xiàn)消元，進而求得這個二元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法。

（教學說明：要讓學生先自主探索，然后再合作交流，最后，由教師總結(jié)出代入消元的基本思路）

三．典例解析

（設(shè)計說明：通過典型例題，讓學生進一步體會二元一次方程組的解法）

例1 解方程組:

解 由①得 ③.

將③代入②, 得.

即.

將代入③, 得.

所以二元一次方程組的解為：.

例2 把下列方程寫成用含的代數(shù)式表示的形式:

(1)； (2)

分析 即將方程作適當?shù)淖冃? 把含有y的項放在方程的一邊, 其他的項移到方程另一邊, 再把y的系數(shù)化1.

解 (1)； (2).

例3：根據(jù)市場調(diào)查，某種消毒液的大瓶裝（500克）和小瓶裝（250克）兩種產(chǎn)品的銷售數(shù)量比（按瓶計算）為2﹕5。某廠每天生產(chǎn)這種消毒液22.5噸，這些消毒液應該分別裝大、小瓶裝兩種產(chǎn)品多少瓶?

解：設(shè)這些消毒液應分裝X大瓶和Y小瓶，

根據(jù)題意列方程組得，

5X=2Y ①

500X＋250Y=22 500 000 ②

解得：Y=5/2X ③

把③代②入，得

500X＋250×5/2X=22500000

解這個方程，得

X=20000

把X=20000代入③，得

Y=50000

這個方程組的解是

X=20000

Y=50000

答：這個工廠一天應生產(chǎn)20000大瓶和50000小瓶消毒液。

（教學說明：例1、2可讓學生自主完成，例3是應用問題，要先讓學生經(jīng)歷數(shù)學建模的過程，然后用本節(jié)所學知識解決）

四．應用拓展

（設(shè)計說明：通過一組練習題，加深學生對所學知識的理解）

練習1：用代入法解下列方程組:

(1)；

(2)；

(3)；

(4).

練習2：甲、乙兩人相距300米，如果兩人同時相向面行，那么3分鐘相遇；如果兩人同時同向而行，那么半小時后甲追上乙。求甲乙兩人的速度。

（教學說明：要讓學生自主完成）

五．暢談收獲，情意發(fā)展

（設(shè)計說明：通過一個問題，梳理知識，并將知識納入知識系統(tǒng)）

問題：通過這節(jié)課的學習，你學習了什么?有什么收獲?

六．知識

1．本節(jié)課主要學習用代入消元法解二元一次方程組。

2．主要的思想方法：消元法

3．注意的問題：

（1）用一個未知數(shù)表示另一個未知數(shù)時，要表示正確。

（2）注意解題步驟要規(guī)范。

七．布置作業(yè)：

p98頁1、2、3、4 題

八．拓展練習：

1．一個學生有中國郵票和外國郵票共325張，中國郵票的張數(shù)比外國郵票的張數(shù)的2倍少2張，這個學生有中國郵票和外國郵票各多少張?

2．一個農(nóng)民有若干只雞和兔子，它們共有15個頭和94只腳，問雞和兔子各有多少?

【教學評價】

1．本節(jié)課主要學習用代入消元法解二元一次方程組。

2．本節(jié)從學生熟悉的商品交換開始，引入新課，大大激發(fā)了學生的學習興趣，同時，在實際問題中滲入了消元思想，為順利解二元一次方程組奠定了基礎(chǔ)。