§8.4 三元一次方程組解法舉例

教材分析

本課的主要內(nèi)容是學(xué)習(xí)三元一次方程組的解法，由于三元一次方程組相關(guān)知識(shí)與二元一次方程組類似，所以先結(jié)合實(shí)例運(yùn)用類比法學(xué)習(xí)三元一次方程組的有關(guān)概念，然后利用消元思想解三元一次方程組.盡管三元一次方程組與二元一次方程組的解法有許多類似之處，畢竟三元一次方程組復(fù)雜得多，所以在學(xué)習(xí)的過程中，重點(diǎn)處理好與二元一次方程組解法中不同的環(huán)節(jié)，在比較的過程中學(xué)習(xí)新知識(shí)，使學(xué)生對消元思想有更深層次的認(rèn)識(shí)，能將這種思想遷移到解決四元一次方程組、五元一次方程組……等問題中.

列三元一次方程組解決實(shí)際問題雖然不是這節(jié)課的重點(diǎn)，不過它有助于學(xué)生理解為什么要學(xué)習(xí)一元高次方程組的解法以及數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，同時(shí)也可以為以后學(xué)習(xí)二次函數(shù)做一些準(zhǔn)備，所以有必要做一部分較簡單的實(shí)際應(yīng)用題.

在理解運(yùn)用消元思想方法的同時(shí)，觀察分析及運(yùn)算能力也是這節(jié)課訓(xùn)練的重點(diǎn)內(nèi)容，注意在應(yīng)用的過程中培養(yǎng)學(xué)生的良好思維、表達(dá)習(xí)慣.

【課時(shí)分配】1課時(shí)

【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】

教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)準(zhǔn)確、迅速地解三元一次方程組

教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)方程組的特點(diǎn)確定先消哪個(gè)元，怎么消?

【教學(xué)目標(biāo)】

1. 會(huì)用代入消元法和加減消元法解三元一次方程組，提高運(yùn)算技能.

2. 通過解三元一次方程組，進(jìn)一步體會(huì)“消元化歸”思想.

3. 通過學(xué)習(xí)體會(huì)前后知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與生活之間的密切聯(lián)系，發(fā)展應(yīng)用意識(shí).

【教學(xué)方法】

利用一個(gè)具體問題，在復(fù)習(xí)已有知識(shí)的基礎(chǔ)上類比學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)新內(nèi)容.教師為學(xué)生提供部分學(xué)習(xí)素材，創(chuàng)設(shè)和諧融洽積極向上的學(xué)習(xí)氛圍，學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上與同學(xué)交流合作，教師的指導(dǎo)與學(xué)生的探索有機(jī)結(jié)合，使學(xué)生在嘗試中發(fā)展、提高.

【教學(xué)過程】

一、創(chuàng)設(shè)情境 提出問題

（設(shè)計(jì)說明：利用一個(gè)既能用二元一次方程組解決，又能用三元一次方程組解決的問題，讓學(xué)生在解決問題的過程中，自然過渡到新知識(shí)的學(xué)習(xí).）

導(dǎo)語：通過以上幾節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們不僅知道了什么是二元一次方程、二元一次方程組，而且還能利用他們來解決許多實(shí)際問題，這些問題中的未知數(shù)有兩個(gè).如果問題中的未知數(shù)多于兩個(gè)，你能解決嗎?請大家嘗試解決下面的問題.

問題：小明手頭有12張面額分別為1元、2元、5元的紙幣，共計(jì)22元，其中1元的紙幣的數(shù)量是2元紙幣數(shù)量的4倍.求1元、2元、5元紙幣各多少張?

解法一：設(shè)1元、2元、5元的紙幣分別為x張、y張，則5元的紙幣（12-x-y）張，根據(jù)題意得 x＋2y＋5(12-x-y)=22

x=4y

解得

x=8

y=2

∴12-x-y=12-8-2=2

答：1元、2元、5元的紙幣分別有8張，2張，2張.

解法二：設(shè)1元、2元、5元的紙幣分別為x張、y張、z張

根據(jù)題意，得：

x＋y＋z=12 ①

x＋2y＋5z=22 ②

x=4y ③

多數(shù)同學(xué)會(huì)列二元一次方程組解答，也可能會(huì)有同學(xué)列出三元一次方程組，教師注意觀察，請學(xué)生介紹自己的想法及遇到的問題.如果沒有學(xué)生列三元一次方程組，教師可以提出問題：如果設(shè)三個(gè)未知數(shù)，會(huì)得到那些關(guān)系式?結(jié)合具體式子學(xué)習(xí)三元一次方程組的相關(guān)知識(shí).

（教學(xué)說明：教師提出問題，學(xué)生嘗試解決，教師結(jié)合學(xué)生的具體情況靈活調(diào)控：或順勢進(jìn)入新課學(xué)習(xí)，或提出新的問題將學(xué)生引導(dǎo)到先課內(nèi)容上來．）

二、探索新知 解決問題

1.三元一次方程組的有關(guān)概念：

（設(shè)計(jì)說明：結(jié)合實(shí)例，用類比法學(xué)習(xí)三元一次方程族的有關(guān)概念）

（1） 三元一次方程

結(jié)合前面得到的三個(gè)方程學(xué)習(xí)相關(guān)概念

x＋y＋z=12 ①

x＋2y＋5z=22 ②

x=4y ③

教師：大家知道，方程③是二元一次方程，方程①、②呢?你能說出它們的特點(diǎn)嗎?

定義：含有三個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，這樣的整式方程方程叫做三元一次方程

（2）三元一次方程組

這個(gè)問題的解必須同時(shí)滿足上面三個(gè)條件，因此，我們

把這三個(gè)方程合在一起，寫成

x＋y＋z=12

x＋2y＋5z=22

x=4y

這個(gè)方程組含有三個(gè)未知數(shù)，每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都 是1，并且一共有三個(gè)方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組

（教學(xué)說明：由于三元一次方程組的概念比較容易理解，結(jié)合實(shí)例師生以談話的方式解決即可）

過渡：如果能把三元一次方程組的解求出來，問題就解決了，那么這個(gè)方程組怎樣解呢?請打家回顧幾個(gè)問題：解二元一次方程組的基本思路是什么?-----消元，將二元方程組轉(zhuǎn)化成一元一次方程具體方法是什么?------代入消元法、加減消元法， 能否用類似的方法解三元一次方程組呢?

2. 三元一次方程組的解法

問題1 解方程組

（設(shè)計(jì)說明：利用列出的方程組探索三元一次方程組的解法，體會(huì)消元思想的意義）

x＋y＋z=12 ①

x＋2y＋5z=22 ②

x=4y ③

(1) 指導(dǎo)思想：將三元一次方程組轉(zhuǎn)化成二元一次方程組

（2）具體做法：通過①③消去未知數(shù)z，得到關(guān)于x,y的方程，與②組成二元一次方程組，先求出x,y,再求出z

（3）解答過程：①×5-②，得4x＋3y=38 ④

解由③④組成的方程組， x=4y ③

4x＋3y=38 ④

得

x=8

y=2

把x=8,y=2代入①，得 z=2

∴原方程組的解為

x=8

y=2

z=2

（教學(xué)說明：師生共同分析思路，有學(xué)生獨(dú)立嘗試寫出解答過程，結(jié)合板演訂正并梳理主要路子：必須先確定消去哪個(gè)未知數(shù)，然后將三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，最后要寫出方程組的解）

問題2 解三元一次方程組

3x＋4z=7 ①

2x＋3y＋z=9 ②

5x－9y＋7z=8 ③

（設(shè)計(jì)說明：由于這個(gè)方程組與問題1中的方程組解法類似，只是計(jì)算稍加復(fù)雜，所以利用它進(jìn)一步熟悉解三元一次方程組的基本步驟，訓(xùn)練學(xué)生的觀察能力及運(yùn)算技能）

解：②×3＋③ ，得

11x＋10z=35 ④

①與④組成方程組

3x＋4z=7

11x＋10z=35

解這個(gè)方程組，得 x=5

z=-2

把x＝5，z＝-2代入②，得y=

因此，三元一次方程組的解為

x=5

y=

z=-2

（教學(xué)說明：學(xué)生獨(dú)立完成，一名同學(xué)板演.結(jié)合出現(xiàn)的問題及時(shí)點(diǎn)評，使學(xué)生體會(huì)到思路清晰并不代表能做對，使學(xué)生養(yǎng)成認(rèn)真、細(xì)心的良好習(xí)慣.）

問題3 在等式 y=ax²＋bx＋c中,當(dāng)x=-1時(shí),y=0;當(dāng)x=2時(shí),y=3;當(dāng)x=5時(shí),y=60.

求a,b,c的值

（設(shè)計(jì)說明：問題3是三元一次方程組的簡單應(yīng)用，利用這個(gè)題目，一方面讓學(xué)生體會(huì)利用三元一次方程組可以解決問題，另一方面進(jìn)一步探究三元一次方程組的一般解法，提高學(xué)生的觀察分析能力與運(yùn)算技能.）

分析：(1)根據(jù)題意，列出關(guān)于a，b，c的三元一次方程組，通過解方程組，求出a,b,c的值.

(2)方程組中的每一個(gè)方程都含有三個(gè)未知數(shù)，這是和前面的方程組不同的地方，因此它的解法也有所區(qū)別.由于c的系數(shù)最簡單，所以先消去c.用②-①,③-①分別得到兩個(gè)關(guān)于a,b的二元一次方程，解由它們組成的方程組就可以求出a,b,的值，然后再求出c的值.

解：根據(jù)題意，得三元一次方程組

a－b＋c= 0 ①

4a＋2b＋c=3 ②

25a＋5b＋c=60 ③

②－①， 得 a＋b=1 ④

③－①，得 4a＋b=10 ⑤

④與⑤組成二元一次方程組

a＋b=1

4a＋b=10

解這個(gè)方程組，得

a=3

b=-2

把 a=3 代入①，得

b=-2

c=-5

因此

a=3

b=-2

c=-5

答：a=3, b=-2, c=-5.

歸納：解三元一次方程組的一般步驟

1.觀察方程組的系數(shù)特點(diǎn)，確定先消哪個(gè)未知數(shù).

2.消元，得到一個(gè)二元一次方程組.

3.解二元一次方程組，求出兩個(gè)未知數(shù)的值.

4.求出第三個(gè)未知數(shù)的值，寫出方程組的解.

（教學(xué)說明：師生共同分析解題思路，然后由學(xué)生寫出解答過程，最后歸納解三元一次方程組的一般步驟及注意事項(xiàng).）

三、鞏固訓(xùn)練 熟練技能

（設(shè)計(jì)說明：通過練習(xí)，掌握三元一次方程組的解法，形成初步運(yùn)算技能）

教材114頁練習(xí)1，2

（教學(xué)說明：獨(dú)立完成，及時(shí)訂正，注意解題的規(guī)范與計(jì)算的準(zhǔn)確）

四、反思總結(jié) 情意發(fā)展

（設(shè)計(jì)說明：圍繞三個(gè)問題，師生以談話交流的形式，共同總結(jié)本節(jié)課的學(xué)習(xí)收獲。）

問題1：本節(jié)課你學(xué)習(xí)了什么?

問題2：本節(jié)課你有哪些收獲?

問題3：通過今天的學(xué)習(xí)，你想進(jìn)一步探究的問題是什么?

（教學(xué)說明：以上設(shè)計(jì)再次通過對三個(gè)問題的思考引導(dǎo)學(xué)生回顧自己的學(xué)習(xí)過程，暢所欲言，加強(qiáng)反思、提煉及知識(shí)的歸納，納入自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)）

五、課堂小結(jié)

1．本節(jié)主要學(xué)習(xí)三元一次方程組的解法.

2．主要用到的思想方法是消元思想：將三元一次方程組轉(zhuǎn)化成二元一次方程.

3．注意的問題:

（１）先消哪個(gè)未知數(shù)，怎樣消元，取決于方程組的系數(shù)特點(diǎn)，要仔細(xì)觀察，選擇較簡單的方法.

（２）消元時(shí)，兩次消去的必須是同一個(gè)“元”.

（３）解出方程組時(shí)要細(xì)心，在準(zhǔn)確的基礎(chǔ)上提高運(yùn)算速度.

六、布置作業(yè)

1、必做題：課本114頁習(xí)題1，2，3

2.選做題：課本115頁習(xí)題4，5；119頁復(fù)習(xí)題 11

（教學(xué)說明：及時(shí)作業(yè)是鞏固課堂學(xué)習(xí)知識(shí)的重要環(huán)節(jié)，練習(xí)題三元一次方程組的解法）

七、拓展練習(xí)

（設(shè)計(jì)說明：在學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上，拓展學(xué)生思維，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。）

1. 如果方程組的解使代數(shù)式kx＋2y -3z的值為10，則k＝（ ）

提示：解方程組求出x，y，z的值代入kx＋2y -3z=10即可求出k的值.

2. 有甲、乙、丙三種商品，如果購甲3件、乙2件，丙1件共需315元錢，購甲1件、乙2件、丙3件共需285元錢，那么購甲、乙、丙三種商品各一件共需 元錢．

提示：設(shè)甲、乙、丙三種商品的價(jià)格分別是x元，y元，z元，則

3x＋2y＋z=315①

x＋2y＋3z=285②

①＋②,得 4(x＋y＋z)=600

∴x＋y＋z=150

3.為確保信息安全，信息需要加密傳輸，發(fā)送方由明文對應(yīng)密文（加密），接收方由密文對應(yīng)明文（解密）已知加密規(guī)則為明文x，y，z對應(yīng)密文為2x＋3y，3x＋4y，3z.例如：明文1，2，3對應(yīng)密文8，11，9當(dāng)接收方收到密文12，17，27時(shí)，則解密得到的明文為 解析：本題仔細(xì)分析一下可以知道這是一道三元一次方程組的問題，由題意可設(shè)這三個(gè)明文數(shù)字為x，y，z得 2x＋3y=12 x=3 3x＋4y=17 解得y=2 3z=27 z=9

所以，解密得到的明文為3，2，9

（教學(xué)說明：教學(xué)時(shí)可根據(jù)實(shí)際做調(diào)整，要讓學(xué)生充分的合作交流，共同解決問題）

【評價(jià)與反思】

1.因需要而學(xué)習(xí)，在應(yīng)用中發(fā)展：結(jié)合實(shí)際問題引入三元一次方程組的有關(guān)概念，為解決具體問題研究三元一次方程組的解法，掌握解法之后解決新的更多更復(fù)雜的問題，使學(xué)生頭腦中建立這樣的聯(lián)系----學(xué)以致用

2.類比遷移，舉一反三：類比二元一次方程組的知識(shí)學(xué)習(xí)三元一次方程組，并進(jìn)一步應(yīng)用于解其它一元高次方程組.同時(shí)，根據(jù)方程組的特點(diǎn)靈活選擇恰當(dāng)?shù)慕夥�，在�?yīng)用的過程中形成技能技巧.