三角形的外角 教學(xué)設(shè)計
§7.2.2三角形的外角
【教學(xué)重點與難點】
教學(xué)重點：1．了解三角形外角的概念及性質(zhì)．
2．能利用三角形外角的性質(zhì)解決簡單問題．
教學(xué)難點：1．能夠證明“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和”．
2．了解“三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角”的應(yīng)用范圍，并能解決簡單問題．
【教學(xué)目標(biāo)】
1．了解三角形外角的概念．毛
2．探索并證明三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．
3．運用三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角解決簡單問題．
【教學(xué)方法】
在學(xué)生自主探索的基礎(chǔ)上加以引導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維及發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力．
【教學(xué)過程】
一、回顧舊知 提出問題
（設(shè)計說明：利用問題回顧三角形內(nèi)角和定理，并利用舊知識，發(fā)現(xiàn)新知識．）
問題1：如圖，已知BD // CE，∠A=45°，∠C=65°，求∠1和∠2的度數(shù)．
學(xué)生回答：由BD // CE可知，∠1=∠C=65°，由三角形內(nèi)角和等于180°可得，∠2的鄰補角等于70°，所以∠2=110°．
問題2：在問題1中，∠2被稱為三角形的外角，根據(jù)∠2的構(gòu)成，你能說明什么叫三角形的外角嗎?
學(xué)生討論回答，教師歸納：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角．
（教學(xué)說明：在回顧舊知的問題1中，教師不僅要讓學(xué)生得到正確的結(jié)論，還要說明每個結(jié)論的理論根據(jù)，最好能讓學(xué)生寫出證明過程．而問題2中，要強調(diào)“一邊”與“另一邊的延長線”所組成的角，為找三角形外角個數(shù)打基礎(chǔ)．）
二、探索新知 解決問題
1．根據(jù)定義探索三角形外角的個數(shù)
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問題1：根據(jù)定義，畫出三角形的外角．你能畫出多少個?
學(xué)生回答：如圖，可以畫出6個外角．
問題2：這6個角有什么關(guān)系?（位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系）
學(xué)生回答：∠1和∠2是對頂角，∠3和∠4是對頂角，∠5和∠6是對頂角，所以有∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6．
教師說明：由于三角形這6個外角是三對對頂角，且∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，所以當(dāng)我們說三角形的外角時，一般是從這三對對頂角的每一對中取出一個，組成三個角．因此，我們說三角形有三個外角．
（教學(xué)說明：在教科書中并沒有這個環(huán)節(jié)，但在教學(xué)時，這個環(huán)節(jié)是必不可少的，因為這是為探索外角的性質(zhì)及外角和打基礎(chǔ)．所以，在問題2中，首先要強調(diào)的是圖形之間的關(guān)系．圖形與圖形之間的關(guān)系有兩種，一種是位置關(guān)系，一種是數(shù)量關(guān)系．所以，當(dāng)問題中只問到兩個圖形之間有什么關(guān)系時，學(xué)生要從兩方面回答．而對于三角形的外角，教師要說明，雖然三角形一共有6個外角，但我們只取其中的三個，而這三個外角必須分別從三對對頂角中取，且每對只取一個，不能重復(fù)．）
2．手腦并用探索三角形外角的性質(zhì)及外角和
（設(shè)計說明：學(xué)生通過計算、討論、證明的方式探索三角形外角的性質(zhì)及外角和，培養(yǎng)學(xué)生合作交流及邏輯思維能力．）
問題1：如圖，在△ABC中，∠ABC=65°，∠ACB=40°，求∠BAC的度數(shù)及三角形的外角∠1，∠2，∠3的度數(shù)．
學(xué)生回答：∠BAC=75°，∠1=105°，∠2=115°，∠3=140°．
問題2：觀察你的結(jié)論，你能發(fā)現(xiàn)三角形的三個內(nèi)角及它的外角有什么關(guān)系嗎?三個外角又有什么關(guān)系?
學(xué)生討論回答，教師總結(jié)：①三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；②三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角；③三角形的外角和等于360°．
問題3：試證明三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．
學(xué)生回答：
已知：在△ABC中，∠1是三角形的一個外角．
求證：∠1=∠A＋∠B．
證明：∵∠ACB＋∠A＋∠B=180°，（三角形的內(nèi)角和等于180°）
∴∠ACB=180°-∠A-∠B．
∵∠1與∠ACB是鄰補角，
∴∠1＋∠ACB=180°．
∴∠1=180°-∠ACB=180°-（180°-∠A-∠B）=∠A＋∠B．
問題4：試證明三角形的外角和等于360°．
學(xué)生回答：
已知：在△ABC中，∠1，∠2，∠3都是三角形的外角．
求證：∠1＋∠2＋∠3=360°．
證明：∵∠1，∠2，∠3都是三角形的外角，
∴∠1=∠ABC＋ ACB．
（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）
同理，∠2=∠BAC＋ ACB，∠3=∠BAC＋∠ABC ．
∴∠1＋∠2＋∠3=∠ABC＋ ACB＋∠BAC＋ ACB ＋∠BAC＋∠ABC
=2（∠BAC＋∠ABC＋∠ACB）．
∵∠BAC＋∠ABC＋∠ACB=180°，（三角形的內(nèi)角和等于180°）
∴∠1＋∠2＋∠3=2×180°=360°．
（教學(xué)說明：在學(xué)生的自主探究過程中，教師要關(guān)注學(xué)生之間的交流合作，并適時加以引導(dǎo)，同時對學(xué)生所得出的正確結(jié)論要給肯定．同時還要強調(diào)定理證明的基本步驟，并要求學(xué)生獨立完成證明過程．）
三、鞏固訓(xùn)練 熟練技能
（設(shè)計說明：通過基礎(chǔ)練習(xí)，加深對三角形外角的認識，熟練基本技能．）
練習(xí)1：說出下列圖中∠1和∠2的度數(shù)．
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練習(xí)2：如圖，
是 外角， ＋ ，
是 外角，= ＋ ，
是 外角，= ＋ ，> ，> ．
學(xué)生： △ACD，∠A，∠ACD，△BCF，∠BCF，∠FBC，△BDF（△CEF），∠BDF（∠CEF），∠DBF（∠ECF），∠BDF（∠CEF…），∠A．
練習(xí)3：如圖，CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，且CD交BA的延長線于點E，證明∠ABC﹥∠B．
學(xué)生：
證明：∵CE是∠ACD的平分線，
∴∠ACE=∠DCE．（角平分線定義）
∵∠DCE是△BCE的外角，
∴∠DCE﹥∠B．
（三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角）
∴∠ACE﹥∠B ．（等量代換）
∵∠BAC是△ACE的外角，
∴∠BAC﹥∠ACE．（三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角）
∴∠ABC﹥∠B．
練習(xí)4：如圖，點D是△ABC內(nèi)的一點，連接BD和CD，證明∠BDC﹥∠A．
學(xué)生：
證明：延長BD交AC于E．
∵∠BEC是△ABE的外角，∠BDC是△CDE的外角，
∴∠BEC﹥∠A，∠BDC﹥∠BEC．
（三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角）
∴∠BDC﹥∠A．
（教學(xué)說明：練習(xí)的設(shè)計有一定的階梯性，盡量讓學(xué)生獨立完成．對于練習(xí)3和練習(xí)4，如果學(xué)生沒有思路，教師要給予是所學(xué)知識的一個應(yīng)用，要讓學(xué)生有利用面積求高的意識，開闊思路．）
四、反思總結(jié) 情意發(fā)展
（設(shè)計說明：圍繞三個問題，師生以談話交流的形式，共同總結(jié)本節(jié)課的學(xué)習(xí)收獲。）
問題1：本節(jié)課你學(xué)習(xí)了什么?
問題2：本節(jié)課你有哪些收獲?
問題3：通過今天的學(xué)習(xí)，你想進一步探究的問題是什么?
（教學(xué)說明：以上設(shè)計再次通過對三個問題的思考引導(dǎo)學(xué)生回顧自己的學(xué)習(xí)過程，暢所欲言，加強反思、提煉及知識的歸納，納入自己的知識結(jié)構(gòu)）
五、課堂小結(jié)
1．本節(jié)主要學(xué)習(xí)三角形的外角的概念及性．
2．注意的問題：
（1）三角形的外角是由三角形一邊的延長線與另一邊所組成的角．
（2）三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．
（3）三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角．
（4）三角形的外角和等于360°．
六、布置作業(yè)
1、課本76頁習(xí)題7.2的5、6；
（教學(xué)說明：及時作業(yè)是鞏固課堂學(xué)習(xí)知識的重要環(huán)節(jié)，練習(xí)題是對本節(jié)的基礎(chǔ)知識進行鞏固．）
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（設(shè)計說明：對已學(xué)的知識進行綜合應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)變能力．）
練習(xí)1：如圖，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點p．
試證明
．
學(xué)生：
證明：∵Bp，Cp分別是∠ABC與∠ACB的平分線，
∴
，
．（角平分線定義）
∵∠A＋∠ABC＋∠ACB=180°，∠p＋∠pBC＋∠pCB=180°，
（三角形的內(nèi)角和等于180°）
∴∠ABC＋∠ACB=180°-∠A，∠p =180°-（∠pBC＋∠pCB）．
∴．
（等量代換）
練習(xí)2：如圖，在上題中，如果Cp是△ABC外角∠pCD的角平分線，那么∠p與∠A有什么關(guān)系?試證明你的結(jié)論．
學(xué)生：答：
．
理由：∵Bp，Cp分別是∠ABC與∠ACD的平分線，
∴，
．（角平分線定義）
∵∠pCD是△pBC的外角，∠ACD是△ABC的外角
∴∠pCD=∠p＋∠pBC，∠ACD=∠A＋∠ABC，
（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）
∴∠p=∠pCD -∠pBC，∠ABC =∠ACD-∠A．
∴
．（等量代換）
練習(xí)3：如圖，在上題中，如果Bp，Cp分別是∠CBD與∠BCE的平分線，那么∠p與∠A有什么關(guān)系?試證明你的結(jié)論．
學(xué)生：答：
．
理由：∵Bp，Cp分別是∠CBD與∠BCE的平分線，
∴
，
．（角平分線定義）
∵∠CBD與∠BCE都是△ABC的外角，
∴∠CBD=∠A＋∠ACB，∠BCE=∠A＋∠ACB，
（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）
∵∠A＋∠ABC＋∠ACB=180°，
∠p＋∠pBC＋∠pCB=180°，（三角形的內(nèi)角和等于180°）
∴∠p =180°-（∠pBC＋∠pCB），∠ABC＋∠ACB=180°-∠A，
∴
．（等量代換）
（教學(xué)說明：這三個練習(xí)其實是將一道題分成三部分，以降低題的難度，主要是考查學(xué)生對三角形外角的性質(zhì)的應(yīng)用，具有一定的難度，所以教師應(yīng)給學(xué)生充足的思考時間，并讓學(xué)生以所學(xué)的基礎(chǔ)知識為出發(fā)點進行充分的合作交流，共同解決問題．）
【評價與反思】
本節(jié)主要介紹三角形的外角及其性質(zhì)，是一節(jié)探究課．
本節(jié)的知識內(nèi)容很突出，就是要讓學(xué)生了解三角形的外角及其性質(zhì)，所以在教學(xué)過程中，教師可以放手讓學(xué)生探索，利用多種方法進行研究．同時要關(guān)注學(xué)生的合作交流，開闊學(xué)生的思路，讓學(xué)生在經(jīng)歷整個探索過程的同時，體會數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹性，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和解決問題的能力．
在教學(xué)設(shè)計上，關(guān)注學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作交流的過程，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識應(yīng)用的靈活性，感受數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的重要，在獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的同時，提高學(xué)生探究、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新的能力．
中考 高考名著
常用成語