§7.1.2三角形的高、中線與角平分線

【教學(xué)重點與難點】

教學(xué)重點：1．了解三角形的高、中線與角平分線的概念．

2．能利用三角形的高、中線和角平分線的性質(zhì)進行簡單計算．

教學(xué)難點：1．能用自己的語言說出三角形高、中線與角平分線的概念．

2．熟練運用三角形的高、中線和角平分線的性質(zhì)進行有關(guān)計算．

【教學(xué)目標(biāo)】

1．了解三角形的高、中線與角平分線的概念．毛

2．準(zhǔn)確區(qū)分三角形的高、中線與角平分線．

3．能夠獨立完成與三角形的高、中線和角平分線有關(guān)的計算．

【教學(xué)方法】

以學(xué)生實踐為主，在已學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)上進行更進一步的探究，從而發(fā)現(xiàn)新的結(jié)論，以此培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和解決問題的能力．

【教學(xué)過程】

一．回顧舊知 提出問題

（設(shè)計說明：通過對已學(xué)知識的回憶來鞏固基礎(chǔ)知識的運用，并借此引入新課．）

問題1：數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個三角形?請將它們?nèi)�部用符號表示出來�?/p>

學(xué)生回答：圖中共有5個三角形．

它們分別是：△ABC、△ABD、△ACD、

△ADE、△CDE．

問題2：利用長為3、5、6、9的四條線段可以組成幾個三角形?為什么?

學(xué)生回答：可以組成2個三角形．

從四條線段中任選三條組成三角形，共有四種選法：①3、5、6，②3、5、9，③3、6、9，④5、6、9，其中，滿足“三角形兩邊之和大于第三邊”的只有第①、④這兩組．

問題3：利用△ABC的一條邊長為4cm，面積是24 cm²這兩個條件，你能求出什么結(jié)論?

學(xué)生回答：能夠求出的△ABC高是3 cm．

（教學(xué)說明：教師利用問題讓學(xué)生回顧所學(xué)知識，特別是問題3內(nèi)容的變化，可以引起學(xué)生注意和疑問，將學(xué)生的思路引入與三角形有關(guān)的線段中．）

二、探索新知 解決問題

1．通過作圖探索三角形的高

（設(shè)計說明：通過經(jīng)歷畫三角形的高的過程，使學(xué)生在頭腦中留下清晰形象，并能結(jié)合這些具體形象敘述高的定義．）

問題1：你能畫出下列三角形的所有的高嗎?

學(xué)生畫出三角形所有的高，觀察這些高的特點．

問題2：根據(jù)畫高的過程說明什么叫三角形的高?

學(xué)生討論回答，師完善并歸納：從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，連接頂點和垂足之間的線段稱為三角形的高．

問題3：在這些三角形中你能畫出幾條高?它們有什么相同點和不同點?

學(xué)生回答：每個三角形都能畫出三條高．

相同點是：三角形的三條高交于同一點．

不同點是：銳角三角形的高交于三角形內(nèi)一點，直角三角形的高交于直角的頂 點，鈍角三角形的高交于三角形外一點．

問題4：如圖所示，如果AD是△ABC的高，你能得到哪些結(jié)論?

學(xué)生回答：如果AD是△ABC的高，則有：

AD⊥BC于D，∠ADB=∠ADC=90°．

（教學(xué)說明：三角形的高的概念在書中并沒有具體給出，所以學(xué)生在歸納定義的時候會有一定的困難．那么在授課時就要留給學(xué)生充足的時間進行思考和討論，教師可以引導(dǎo)學(xué)生先利用具體圖形進行定義，再由具體圖形中抽出準(zhǔn)確、簡明的語言，同時要強調(diào)：三角形的高是一條線段．在問題3中，有些學(xué)生會認(rèn)為直角三角形只能畫出斜邊上的一條高，這時教師要給予講解，說明另外兩條直角邊也是這個直角三角形的高．而問題4是要將三角形的高用符號語言表示出來，這是為以后學(xué)習(xí)證明打基礎(chǔ)．）

2．類比探索三角形的高的過程探索三角形的中線

（設(shè)計說明：利用類比的方法進行探索，可以留給學(xué)生更多思考與探究的空間，有得于拓展學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生自主探究的學(xué)習(xí)習(xí)慣．）

問題1：如圖，如果點C是線段AB的中點，你能得到什么結(jié)論?

學(xué)生回答：．

問題2：如圖，如果點D是線段BC的中點，那么線段AD就稱為△ABC 的中線．類比三角形的高的概念，試說明什么叫三角形的中線?由三角形的中線能得到什么結(jié)論?

學(xué)生回答：三角形中連結(jié)一個頂點和它對邊中的線段稱為三角形的中線．

如果線段AD是△ABC的中線，那么．

問題3：畫出下列三角形的所有的中線，并討論說明三角形的中線有什么特點?

學(xué)生回答：無論哪種三角形，它們都有三條中線，并且這三條中線都會交于一點，這一點都在三角形的內(nèi)部．

問題4：如圖所示，在△ABC中，AD是△ABC的中線，AE是△ABC的高．試判斷△ABD和△ACD的面積有什么關(guān)系?為什么?

學(xué)生回答：△ABD和△ACD的面積相等．理由：

∵AD是△ABC的中線

∴BD=CD

∵AE既是△ABD的高，也是△ACD的高

∴

∴△ABD和△ACD的面積相等．

問題5：通過問題4你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?

學(xué)生回答：三角形的中線將三角形的面積平均分成兩份．

（教學(xué)說明：讓學(xué)生利用對三角形的高的探究過程，利用類比的方法進行對三角形的中線的探究．“類比思想”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用的一種思想，所以在授課過程中要讓學(xué)生體會運用這種思想進行探究的好處，培養(yǎng)自主探究的能力．問題4和問題5的設(shè)立是對三角形中線的知識進行擴展，并不是教科書中的內(nèi)容，但能夠使學(xué)生更深刻地體會三角形中線的特點，同時，根據(jù)課堂時間的需要，對于這兩個問題的講授，教師可以自行調(diào)節(jié)．）

3．通過類比的方法探究三角形的角平分線

（設(shè)計說明：再次使用類比的方法進行探究，讓學(xué)生經(jīng)歷動腦思考探索的過程，對知識有進一步的理解．）

問題1：如圖，若OC是∠AOB的平分線，你能得到什么結(jié)論?

學(xué)生回答：．

問題2：如圖，在△ABC中，如果∠BAC的平分線AD交BC邊于點D，我們就稱AD是△ABC的角平分線．類比探索三角形的高和中線的過程，你能得到哪些結(jié)論?三角形的角平分線與角的角平分線相同嗎?為什么?

學(xué)生回答：三角形一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段稱為三角形的角平分線．

三角形有三條角平分線，并且這三條角平分線在三角形內(nèi)交于一點．

如果AD是△ABC的角平分線，那么就有．

三角形的角平分線與一個角的角平分線不一樣，三角形的角平分線是一條線段，有長度，而角的平分線是一條射線，沒有長度．

（教學(xué)說明：對于三角形的角平分線的探究，教師要給學(xué)生足夠的空間和時間，如果漏下了哪一點沒有探究到，教師可以給予提示．）

三、鞏固訓(xùn)練 熟練技能

（設(shè)計說明：通過比較練習(xí)，幫助學(xué)生掌握三角形的高、中線和角平分線的基本性質(zhì)，熟練基本技能．）

練習(xí)1：如圖，在△ABC中畫出這個三角形的高BD，中線CE和角平分線BF．

練習(xí)2：如圖，已知AD，BE，CF都是△ABC的三條中線．

則AE= = ，BC=2 ，AF= ．

學(xué)生：CE，AC，BD或CD，BF．

練習(xí)3：如圖，已知AD，BE，CF都是△ABC的三條角平分線．

則∠1= ，∠2= = ，

∠ABC=2 ．

學(xué)生：∠BAC，∠3，∠ACB，∠4或∠ABE．

練習(xí)3：如圖，△ABC中，AC=12 cm，BC=18 cm，△ABC的高AD與BE的比是多少?

學(xué)生：解：由三角形的面積公式得

所以有

解得

（教學(xué)說明：練習(xí)的設(shè)計以基礎(chǔ)知識為主，要讓學(xué)生獨立完成．而練習(xí)3是所學(xué)知識的一個應(yīng)用，要讓學(xué)生有利用面積求高的意識，開闊思路．）

四、反思總結(jié) 情意發(fā)展

（設(shè)計說明：圍繞三個問題，師生以談話交流的形式，共同總結(jié)本節(jié)課的學(xué)習(xí)收獲。）

問題1：本節(jié)課你學(xué)習(xí)了什么?

問題2：本節(jié)課你有哪些收獲?

問題3：通過今天的學(xué)習(xí)，你想進一步探究的問題是什么?

（教學(xué)說明：以上設(shè)計再次通過對三個問題的思考引導(dǎo)學(xué)生回顧自己的學(xué)習(xí)過程，暢所欲言，加強反思、提煉及知識的歸納，納入自己的知識結(jié)構(gòu)）

五、課堂小結(jié)

1．本節(jié)主要學(xué)習(xí)三角形的高、中線和角平分的概念與性質(zhì)．

2．本節(jié)涉及到的思想方法是類比思想．

3．注意的問題：

（1）每個三角形都有三條高，三條中線和三條角平分線．

（2）三角形的三條高交于一點，但銳角三角形的高交于三角形內(nèi)一點，直角三角形的高交于直角的頂點，鈍角三角形的高交于三角形外一點．三角形的三條中線交于三角形內(nèi)一點，三角形的三條角平分線也交于三角形內(nèi)的一點．

（3）三角形的高、中線和角平分線都是線段．

（4）能將三角形的面積平均分成兩部分的線是三角形的中線．

六、布置作業(yè)

1、課本69頁習(xí)題7.1的3、4；

（教學(xué)說明：及時作業(yè)是鞏固課堂學(xué)習(xí)知識的重要環(huán)節(jié)，練習(xí)題是對本節(jié)的基礎(chǔ)知識進行鞏固．）

七、拓展練習(xí)

（設(shè)計說明：在學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上，拓展學(xué)生思維，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。）

練習(xí)1：如圖，在直角三角形中，AC⊥BC，AC=8，BC=6，AB=10．

求頂點C到邊AB的高．

學(xué)生：解：設(shè)頂點C到邊AB的高為h，由三角形的面積公式可得

，

所以有，

解得：h=4.8

所以，頂點C到邊AB的高為4.8．

練習(xí)2：如圖，在△ABC中，AD是角平分線，DE//AC，DF//AB．試判斷∠3和∠4的關(guān)系，并說明理由．

學(xué)生：解：∠3=∠4．

理由：∵AD平分∠BAC，

∴∠1=∠2，

又∵DE//AC，DF//AB，

∴∠1=∠4，∠2=∠3

∴∠3=∠4．

練習(xí)3：利用所學(xué)知識將三角形分成面積相等的四部分．（至少畫出4種）

學(xué)生：利用三角形中線的性質(zhì)可得

	……

（教學(xué)說明：這三個練習(xí)是三角形的高、中線和角平分線的應(yīng)用，特別是練習(xí)2，加入了平行線的性質(zhì)，所以教師應(yīng)給學(xué)生一定的思考時間，并讓學(xué)生充分的合作交流，共同解決問題．）

【評價與反思】

本節(jié)內(nèi)容是七年級數(shù)學(xué)第七章的第二節(jié)，主要介紹三角形的高、中線和角平分線的概念及基本性質(zhì)，雖是一節(jié)概念教學(xué)課，但重點卻在性質(zhì)的應(yīng)用上．

本節(jié)的知識內(nèi)容較多，不僅要讓學(xué)生了解三角形的高、中線和角平分線的概念，還要對這三種線段的表示方法和性質(zhì)進行探究．在教學(xué)過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生從熟悉的知識入手，并利用類比的方法自主探索新的知識．在教學(xué)過程中，教師應(yīng)讓學(xué)生以獨立思考為主，并在必要時進行互助交流，讓學(xué)生經(jīng)歷得出結(jié)論的過程，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力．

在教學(xué)設(shè)計上，關(guān)注學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作交流的過程，讓學(xué)生體會類比思想在探索新知中的作用，使學(xué)生在親自經(jīng)歷整個探究過程后，能夠?qū)θ�角形的高、中線和角平分線的概念及性質(zhì)有更好的理解，在獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的同時，提高探究、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新的能力．