第八章 二元一次方程組復(fù)習(xí)

教材分析

本課是第八章的章末復(fù)習(xí)課，是學(xué)生再認(rèn)知的過程，因此主要任務(wù)使學(xué)生在復(fù)習(xí)回顧的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)掌握本章的主要內(nèi)容及其聯(lián)系，并進(jìn)一步訓(xùn)練學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析解決問題的能力。

本章主要內(nèi)容包括：利用二元一次方程組分析與解決實(shí)際問題，二元一次方程組及其相關(guān)概念，消元思想和用代入法、加減法解二元一次方程組以及三元一次方程組解法舉例。其中，以方程組為工具分析問題、解決含有多個(gè)未知數(shù)的問題既是本章的重點(diǎn)，又是難點(diǎn)。

本章所涉及的數(shù)學(xué)思想方法主要包括兩個(gè)：一個(gè)是由實(shí)際問題抽象為方程組這個(gè)過程中蘊(yùn)涵的符號(hào)化、模型化的思想；另一個(gè)是解方程組的過程中蘊(yùn)涵的消元、化歸思想，它在解方程組中具有指導(dǎo)作用。解二元一次方程組的各個(gè)步驟，都是為最終使方程組變形為x=a，的形式而實(shí)施的，即在保持各方程的左右兩邊相等關(guān)系的前提之下，使“未知”逐步轉(zhuǎn)化為“已知”。解三元以及多元方程組的基本策略是“消元”，即逐步減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)，以至使方程組化歸為一元方程，先解出一個(gè)未知數(shù)，然后逐步解出其他未知數(shù)。代入法和加減法都是消元解方程組的方法，只是具體消元的手法有所不同。

【課時(shí)分配】1課時(shí)

【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】

教學(xué)重點(diǎn)：解二元一次方程組、列二元一次方程組解應(yīng)用題。

教學(xué)難點(diǎn)：如何找等量關(guān)系，并把它們轉(zhuǎn)化成方程。

【教學(xué)目標(biāo)】

1. 能熟練、準(zhǔn)確地解二元一次方程組；會(huì)用二元一次方程組解決實(shí)際問題；通過對(duì)本章的內(nèi)容進(jìn)行回顧和總結(jié)，能把握各知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系，進(jìn)一步感受方程（組）模型的重要性。

2. 通過回顧反思，進(jìn)一步加深對(duì)數(shù)學(xué)中的消元、化歸思想的理解，熟練、靈活地運(yùn)用消元法解方程組；學(xué)會(huì)如何構(gòu)建知識(shí)體系，體會(huì)前后知識(shí)間的聯(lián)系。

【教學(xué)方法】

教師組織學(xué)習(xí)材料，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)理想的學(xué)習(xí)環(huán)境，學(xué)生利用問題展開探索交流.在學(xué)生把握基本內(nèi)容的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步提煉，構(gòu)建知識(shí)體系；在此基礎(chǔ)上，通過學(xué)生嘗試解決問題，以及師生之間、生生之間的討論交流，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)更深刻，對(duì)解決問題的策略把握得更靈活。

【教學(xué)過程】

一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建

（設(shè)計(jì)說明：利用一組小練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生回顧本章主要內(nèi)容，體會(huì)各知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，使學(xué)生對(duì)本章內(nèi)容及其間的關(guān)系有清晰完整的認(rèn)識(shí)。）

課前熱身練習(xí)題（要求學(xué)生上課之前完成，上課時(shí)交流訂正）

1.寫出方程2x－5y=18的3個(gè)解（答案不唯一，二元一次方程有無數(shù)個(gè)解，只要滿足要求即可）

2.用合適的方法解方程組

答案：

3. 小紅和爺爺在400米環(huán)形跑道上跑步。他們從某處同時(shí)出發(fā)，如果同向而行，那么經(jīng)過200s小紅追上爺爺；如果背向而行，那么經(jīng)過40s兩人相遇，求他們的跑步速度。

答案：小紅和爺爺跑步的速度分別是6m/s,4m/s

4.已知三角形的周長是18cm，其中兩邊的和等于第三邊的2倍，而這兩邊的差等與第三邊的，求這個(gè)三角形的各邊長。

設(shè)三邊的長分別是xcm,ycm,zcm（x>y）

那么

你會(huì)解這個(gè)方程組嗎?

答案： x=7

y=5

z=6

問題1：每個(gè)問題你是怎樣解決的?用到了那些知識(shí)點(diǎn)?和你小組中其他的同學(xué)交流一下。

（教學(xué)說明：利用第1題復(fù)習(xí)二元一次方程及其解的概念；通過第2題熟悉方程組的解法，提醒學(xué)生較復(fù)雜的方程組應(yīng)先化簡(jiǎn)，后確定用哪種方法解；設(shè)計(jì)第3題主要是用來回顧列方程解應(yīng)用題的一般步驟，提醒學(xué)生通過畫圖分析題目中的數(shù)量關(guān)系；第4題的作用主要是讓學(xué)生體會(huì)三元一次方程組的用途同時(shí)用以訓(xùn)練學(xué)生的計(jì)算技能。學(xué)生回答時(shí)要說清楚以下幾方面的問題：怎樣做的，結(jié)果是什么?用到的知識(shí)點(diǎn)的具體內(nèi)容是什么，做完后有什么新的體會(huì)?）

問題2：本章的重要內(nèi)容有哪些?它們之間有怎樣的聯(lián)系?

1. 重要知識(shí)點(diǎn)梳理

①二元一次方程：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是一次的整式方程.

二元一次方程的解集：適合二元一次方程的一組未知數(shù)的值叫做這個(gè)二元一次方程的一個(gè)解；由這個(gè)二元一次方程的所有解組成的集合叫做這個(gè)二元一次方程的解集.

②二元一次方程組：由幾個(gè)一次方程組成并含有兩個(gè)未知數(shù)的方程組叫做二元一次方程組.

③二元一次方程組解：適合二元一次方程組里各個(gè)方程的一對(duì)未知數(shù)的值，叫做這個(gè)方程組里各個(gè)方程的公共解，也叫做這個(gè)方程組的解.

④解方程組：求出方程組的解或確定方程組沒有解的過程叫做解方程組。

⑤解二元一次方程組的基本方法是代入消元法和加減消元法（簡(jiǎn)稱代入法和加減法）

代入法解題步驟：把方程組里的一個(gè)方程變形，用含有一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個(gè)未知數(shù)；用這個(gè)代數(shù)式代替另一個(gè)方程中相應(yīng)的未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程，可先求出一個(gè)未知數(shù)的值；把求得的這個(gè)未知數(shù)的值代入第一步所得的式子中，可求得另一個(gè)未知數(shù)的值，這樣就得到了方程的解

加減法解題步驟：把方程組里的一個(gè)（或兩個(gè)）方程的兩邊都乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)，使兩個(gè)方程里的某一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值相等；把所得到的兩個(gè)方程的兩邊分別相加（或相減），消去另一個(gè)未知數(shù)的一元一次方程（以下步驟與代入法相同）

⑥列二元一次方程組解應(yīng)用題的步驟與列方程解應(yīng)用提的步驟相同，即“設(shè)”“列”“解”“驗(yàn)”“答”.

2.利用二（三）元一次方程組解決問題的基本過程

3.本章知識(shí)安排的前后順序

（教學(xué)說明：準(zhǔn)備練習(xí)課前完成，上課時(shí)通過交流訂正復(fù)習(xí)主要知識(shí)點(diǎn)，結(jié)合學(xué)生的回答逐步構(gòu)建知識(shí)體系．）

二、典型問題探究

（設(shè)計(jì)說明：通過對(duì)本章中幾個(gè)典型問題的探究，進(jìn)一步熟悉常用的數(shù)學(xué)思想方法及解題技巧，提高學(xué)生分析解決問題的能力）

問題1 方程2x＋y=9 在正整數(shù)范圍內(nèi)的解有＿＿＿個(gè)

問題2 解方程組

問題3用正方形和長方形的兩種硬紙片制作甲、乙兩種無蓋的長方體紙盒（如圖）。如果長方形的寬與正方形的邊長相等，150張正方形硬紙片和300張長方形硬紙片可以制作甲、乙兩種紙盒各多少個(gè)?

硬紙片 甲種紙盒 乙種紙盒

提出以下問題引導(dǎo)學(xué)生思考：

每個(gè)甲種紙盒要正方形硬紙片幾張? 1張

每個(gè)乙種紙盒要正方形硬紙片幾張? 2張

每個(gè)甲種紙盒要長方形硬紙片幾張? 4張

每個(gè)乙種紙盒要長方形硬紙片幾張? 3張

解：設(shè)可制作甲種紙盒x個(gè)，乙種紙盒y個(gè)

由題意得，

解這個(gè)方程得

答：可制作甲種紙盒30個(gè)，乙種紙盒60個(gè).

問題4 某車間每天能生產(chǎn)甲種零件120個(gè)，或者乙種零 件100個(gè)，或者丙種零件200個(gè)，甲，乙，丙3種 零件分別取3個(gè)，2個(gè)，1個(gè)，才能配一套，要在 30天內(nèi)生產(chǎn)最多的成套產(chǎn)品，問甲，乙，丙3種 零件各應(yīng)生產(chǎn)多少天?

（教學(xué)說明：先讓學(xué)生獨(dú)立思考嘗試解決，然后結(jié)合板演交流點(diǎn)評(píng)，教師只在關(guān)鍵處加以點(diǎn)撥．）

三、課堂鞏固訓(xùn)練

（設(shè)計(jì)說明：通過練習(xí)，訓(xùn)練學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)靈活解決問題的能力。）

1. 已知|x＋y|＋（x-y＋3）²=0，求x,y的值。

答案：x= -1.5,y=1.5

2. 某鐵路橋長1000m，現(xiàn)有一列火車從橋上通過，測(cè)得該火車從開始上橋到完全過橋共用了1min，整列火車完全在橋上的時(shí)間共40s.求火車的速度和長度。

解：設(shè)火車的速度為xmin/s，設(shè)火車的長為ym

由題意得

解這個(gè)方程得

答：火車的速度為20min/s，設(shè)火車的長為200m.

3、為了加強(qiáng)公民的節(jié)水意識(shí)，合理利用水資源。某市采用價(jià)格調(diào)控手段達(dá)到節(jié)約水的目的。規(guī)定：每戶居民每月用水不超過6時(shí)，按基本價(jià)格收費(fèi)，該市某戶居民今年4、5月份的用水量和水費(fèi)如下表所示，試求用水收費(fèi)的兩種價(jià)格。

分析：由表格看到什么信息?

4月份用水超過6，所以水費(fèi)有兩部分組成21元。

5月份用水超過6，所以水費(fèi)有兩部分組成27元。

解：設(shè)基本價(jià)格為x元/；超過6部分的按y元/.

由題意知

解這個(gè)方程得

答:基本價(jià)格為1.5元/；超過6部分的按6元/

（教學(xué)說明：獨(dú)立完成，集體訂正）

四、反思總結(jié) 情意發(fā)展

（設(shè)計(jì)說明：圍繞三個(gè)問題，師生以談話交流的形式，共同總結(jié)本節(jié)課的學(xué)習(xí)收獲。）

問題1：本節(jié)課你學(xué)習(xí)了什么?

問題2：本節(jié)課你有哪些收獲?

問題3：通過今天的學(xué)習(xí)，你想進(jìn)一步探究的問題是什么?

（教學(xué)說明：以上設(shè)計(jì)再次通過對(duì)三個(gè)問題的思考引導(dǎo)學(xué)生回顧自己的學(xué)習(xí)過程，暢所欲言，加強(qiáng)反思、提煉及知識(shí)的歸納，納入自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)）

五、課堂小結(jié)

1．本節(jié)主要學(xué)習(xí)如何將一單元的知識(shí)進(jìn)行整理歸納，形成知識(shí)體系。

2．主要用到的思想方法是符號(hào)化、模型化思想，消元化歸思想。

3．注意的問題:

（１）復(fù)習(xí)時(shí)將平時(shí)易錯(cuò)的知識(shí)點(diǎn)、感到疑難的問題做重點(diǎn)處理，不留尾巴。

（２）分析問題是選擇合適的方法，是列表、用式子還是畫圖?要根據(jù)題目特點(diǎn)確定

（3）在復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上提高，尤其是對(duì)知識(shí)方法的理解及對(duì)知識(shí)的綜合創(chuàng)新應(yīng)用。

六、布置作業(yè)

1. 在方程 (a²-4)x²＋(2-3a)x＋(a＋2)y＋3a=0 中，若此方程為二元一次方程，則a的值為＿＿＿＿＿＿

2. 某種植大戶計(jì)劃安排10個(gè)勞動(dòng)力來耕作

30畝土地，這些土地可以種蔬菜也可以種水稻，種這些作物所需勞動(dòng)力及預(yù)計(jì)產(chǎn)值如右表，為了使所有土地種上作物，全部勞動(dòng)力都有工作，應(yīng)安排種蔬菜的勞動(dòng)力

為 人，這時(shí)預(yù)計(jì)產(chǎn)值為 元。

答案：5，44000

3、七年級(jí)（2）班的一個(gè)綜合實(shí)踐活動(dòng)小組去A、B兩個(gè)超市調(diào)查去年和今年“五一”

期間的銷售情況，下圖是調(diào)查后小敏與其他兩位同學(xué)進(jìn)行交流的情景，根據(jù)他們的對(duì)話，請(qǐng)你分別求出A、B兩個(gè)超市今年“五一”期間的銷售額.

答案：A、B兩個(gè)超市今年“五一”期間的銷售額分別是115萬元，55萬元

4.課本118頁復(fù)習(xí)題3，4，5，6

（教學(xué)說明：及時(shí)作業(yè)是鞏固課堂學(xué)習(xí)知識(shí)的重要環(huán)節(jié)，方程組的解法及應(yīng)用。）

七、拓展練習(xí)

（設(shè)計(jì)說明：利用本組題目，開拓學(xué)生視野，滿足不同學(xué)生的發(fā)展需要。）

1．已知甲、乙兩人的年收入之比為3︰2，年支出之比為7︰4，年終時(shí)兩人各余400元，若設(shè)甲的年收入為x元，年支出為y元，則可列方程組為（ ）

A、 B、 C、 D、

答案：D

2. 若下列三個(gè)二元一次方程：3x-y=7；2x＋3y=1；y=kx-9有公共解，那么k的取值應(yīng)是（ ）

A、k=-4 B、k=4 C、k=-3 D、k=3

答案：B

3. 解方程組（1） （2）

4. 如圖，周長為68cm的長方形ABCD被分成7個(gè)相同的矩形，

求長方形ABCD的面積.

提示：先求出小矩形的長和寬（10cm,4cm）,然后求長方形ABCD的面積.

（280cm²）

5．(2008 山東聊城) 實(shí)驗(yàn)中學(xué)組織愛心捐款支援災(zāi)區(qū)活動(dòng)，九年級(jí)一班55名同學(xué)共捐款1180元，捐款情況見下表．表中捐款10元和20元的人數(shù)不小心被墨水污染已經(jīng)看不清楚，請(qǐng)你幫助確定表中的數(shù)據(jù)．

解：設(shè)捐10元的同學(xué)有人，捐20元的同學(xué)有人，根據(jù)題意，得

化簡(jiǎn)，得

解這個(gè)方程組，得

答：捐款10元和20元的同學(xué)分別為4人和38人

6.（2008 山東泰安） 某廠工人小王某月工作的部分信息如下：

信息一：工作時(shí)間：每天上午8∶20~12∶00，下午14∶00~16∶00，每月25元；

信息二：生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，并且按規(guī)定每月生產(chǎn)甲產(chǎn)品的件數(shù)不少于60件．

生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)與所用時(shí)間之間的關(guān)系見下表：

信息三：按件計(jì)酬，每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品可得1.50元，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品可得2.80元．

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

（1）小王每生產(chǎn)一件甲種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件乙種產(chǎn)品分別需要多少分?

（2）小王該月最多能得多少元?此時(shí)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別多少件?

（1）解：設(shè)生產(chǎn)一件甲種產(chǎn)品需分，生產(chǎn)一件乙種產(chǎn)品需分，由題意得：

即

解這個(gè)方程組得：

生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品需要15分，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品需要20分．

（2）解：設(shè)生產(chǎn)甲種產(chǎn)品用分，則生產(chǎn)乙種產(chǎn)品用分，則生產(chǎn)甲種產(chǎn)品件，生產(chǎn)乙種產(chǎn)品件．

又，得

由一次函數(shù)的增減性，當(dāng)時(shí)取得最大值，此時(shí)（元）

此時(shí)甲有（件），乙有：（件）

注：本題只做（1）

（教學(xué)說明：教學(xué)時(shí)可根據(jù)實(shí)際做調(diào)整，要讓學(xué)生充分的合作交流，共同解決問題）

【評(píng)價(jià)與反思】

1.復(fù)習(xí)課教學(xué)模式的探討：利用基礎(chǔ)題組回顧梳理主要知識(shí)點(diǎn)，構(gòu)建知識(shí)體系----通過典型問題探究加深對(duì)主要思想方法的理解，掌握常用解題方法-----采取限時(shí)訓(xùn)練與開放研究相結(jié)合的方式進(jìn)行鞏固與拓展練習(xí)，以保證技能技巧的形成和不同學(xué)生發(fā)展的需求.

2.復(fù)習(xí)課目標(biāo)的確定：首要的一點(diǎn)是從總體上把握本章主要內(nèi)容及其間的聯(lián)系，重在回顧整理，查缺補(bǔ)漏；其次是綜合創(chuàng)新，基礎(chǔ)知識(shí)掌握了，綜合靈活地解決問題才有可能，同時(shí)問題的難易程度要適合學(xué)生的實(shí)際情況，注重思維發(fā)散性與深刻性的訓(xùn)練，使不同層次的學(xué)生通過復(fù)習(xí)都得到較大的提高.